题目内容

设f（x）=

|x-1|-2，(|x|≤1)

4x，(|x|＞1)

，则f[f（

1

2

）]=______．

∵|

1

2

|≤1
∴f（

1

2

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1

2

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3

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即|f（

1

2

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∴f[f（

1

2

）]=f（-

3

2

）=4-

3

2

=

1

8

故答案为

1

8

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设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A=（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A=（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有 $数学公式$ 成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A=（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求实数a的取值范围．