Question

（2013•枣庄二模）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

分析：由条件求得φ和ω的值，可得函数f（x）=-cosx，令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，由此求得 x 的解析式，再由x∈[0，5π），求得g（x）在区间[0，5π）内零点的值，从而求得函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．

解答：解：（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为

2π

ω

，最大值为1．
设图象上最高点为（x₁，1），与之相邻的最低点为（x₂，-1），则|x₂-x₁|=

T

2

=

π

ω

．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

=

( π ω )2+22

，解得ω=1，
∴函数f（x）=-cosx．
（2）函数f（x）在[0，4π]内的所有零点为：

π

2

，

3π

2

，2π+

π

2

，2π+

3π

2

，
∴函数f（x）在[0，4π]内的所有零点之和为

π

2

+

3π

2

+(2π+

π

2

)+(2π+

3π

2

)=8π．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，求函数的零点，属于中档题．