Question

（本题满分16分）

       已知函数，．

   （1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；

   （2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；

   （3）对满足（II）中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，．

Answer 1

1）当时，，…………………………………………………1分

       若，，则在上单调递减，符合题意；………3分

       若，要使在上单调递减，

       必须满足 ……………………………………………………………………5分

       ∴．综上所述，a的取值范围是 …………………………………6分

       （2）若，，则无最大值，………………………7分

       故，∴为二次函数，

       要使有最大值，必须满足即且，…8分

       此时，时，有最大值．………………………………………分

       又取最小值时，，………………………………………………………分

       依题意，有，则，…………分

       ∵且，∴，得，………………分

       此时或．

       ∴满足条件的整数对是．……………………………12分

       （3）当整数对是时，

       ，是以2为周期的周期函数，………………………分

       又当时，,构造如下：当，则，

       ，

       故…