Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：若，则；

（2）当时，试讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点．

【解析】

试题（1）函数求导，再求导得恒成立，又因为恒成立；

（2）由（1）可知，当x≤0时，f″(x)≤0，可得 对x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分类讨论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f(x)的零点个数即可得解；

当x＜-1时，再分0≤m≤1和m＜0两种情况进行讨论，由函数零点定理进行判断即可得到答案.

试题解析：，所以

(1)当时，，则，令，则，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.

(2)由（1）知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对 ，，即.

①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当 时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.

②当时，（ⅰ）当时，，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点.

(ⅱ)当时， ，令，则，所以函数在上单调递增，，当时，，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.