Question

13．已知点F₁是抛物线C：x²=4y的焦点，点F₂为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F₂作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F₁，F₂为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 设A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．对抛物线C：x²=4y求导可得：y′=x，由${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀．可得$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，解得A．设双曲线标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代入双曲线方程，又a²+b²=1．联立解得代入e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出．

解答 解：F₁（0，1），F₂（0，-1）．
设A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．
对抛物线C：x²=4y求导可得：y′=$\frac{1}{2}$x，
∴${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀．
∴$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
解得x₀=±2，A（±2，1）．
设双曲线标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1．
又a²+b²=1．
联立解得：b²=2$\sqrt{2}$-2，a²=3-2$\sqrt{2}$．
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．