Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x²-6x+2．
（Ⅰ）求函数y=

4f(x)

x

+g（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）试判断方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e≈2.718…）是否有实数解？并说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则得到y′，（x＞0），令y′＞0，解出即可得到其单调递增区间；
（Ⅱ）利用导数的运算法则得到f′（x），令f′（x）=0得到极值点，讨论极值点与区间[t，t+2]的位置关系，然后单调性，即可得到其最小值；
（Ⅲ）方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）等价于xlnx=

x

ex

-

2

e

（x＞0），令u（x）=xlnx，v（x）=

x

ex

-

2

e

（x＞0），利用导数分别研究u（x）的最大值与v（x）的最小值，进行比较即可得到所求．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，g（x）=x²-6x+2，
∴y=

4f(x)

x

+g（x）=4lnx+x²-6x+2，定义域为（0，+∞），
∴y′=

4

x

+2x-6=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，
令y′＞0，解得0＜x＜1或x＞2，
∴函数y=

4f(x)

x

+g（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=

1

e

，
①当0＜t＜

1

e

时，x∈（t，

1

e

），f′（x）＜0，即函数f（x）在（t，

1

e

）上单调递减，
x∈（

1

e

，t+2），f′（x）＞0，即函数f（x）在（

1

e

，t+2）上单调递增，
∴当x=

1

e

时函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，
②当t≥

1

e

时，x∈[t，t+2]，f′（x）≥0，即函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴当x=t时函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（t）=tlnt，
∴函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（x）_min=

tlnt ，t≥ 1 e - 1 e ，0＜t＜ 1 e

；
（Ⅲ）∵方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…），
∴xlnx=

x

ex

-

2

e

（x＞0）．
令u（x）=xlnx，v（x）=

x

ex

-

2

e

，（x＞0），
由（Ⅱ）可知：u（x）在x=

1

e

时取得极小值，也即最小值-

1

e

，
而v′（x）=

ex-xex

e2x

=

1-x

ex

，
当0＜x＜1时，v′（x）＞0，函数v（x）单调递增，
当1＜x时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减，
∴当x=1时，v（x）取得极大值，也即最大值v（1）=

1

e

-

2

e

=-

1

e

，
而∵当x=1时，u（1）=0＞-

1

e

=v（1），
∴方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）无实数解．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．