Question

椭圆C中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知直线l（l不垂直于x轴）交椭圆C于P、Q两点，若，求证：点O到直线l的距离是．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设椭圆的标准方程，根据离心率得到a，c的关系，再由椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为可得到点（c，）在椭圆上，代入可得到b的值，再结合离心率可得到a，c的值，从而得到椭圆C的标准方程．
（II）先设点P、Q的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，从而得到两根之和与两根之积的关系式，进而可表示出y₁y₂的关系式，再由可得到，整理可得到，然后表示出点O到直线l的距离再将代入即可求出点O到直线l的距离为定值，从而得证．
解答：解：（I）设椭圆，因为，
在椭圆上，则，解得b=1
，圆的方程为
（II）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由
，

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
==
因为，，
即
点O到直线l的距离
即点O到直线l的距离为定值
点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点，每年必考．一般都是联立直线与圆锥曲线方程消去一个未知数，得到一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，再结合题意来解．