Question

椭圆C中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知直线l（l不垂直于x轴）交椭圆C于P、Q两点，若

OP

•

OQ

=0，求证：点O到直线l的距离是

6

3

．

Answer 1

分析：（I）先设椭圆的标准方程，根据离心率得到a，c的关系，再由椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

可得到点（c，

2

2

）在椭圆上，代入可得到b的值，再结合离心率可得到a，c的值，从而得到椭圆C的标准方程．
（II）先设点P、Q的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，从而得到两根之和与两根之积的关系式，进而可表示出y₁y₂的关系式，再由

OP

•

OQ

=0可得到

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，整理可得到3m2-2k2-2=0，所以m2=

2k2+2

3

，然后表示出点O到直线l的距离再将m2=

2k2+2

3

代入即可求出点O到直线l的距离为定值，从而得证．

解答：解：（I）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，因为e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，
据题意，点(c，

2

2

)在椭圆上，则

1

2

+

1 2

b2

=1，解得b=1
a2-c2=b2=1，则c=1，a=

2

，圆的方程为

x2

2

+y2=1
（II）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k2•

2m2-2

2k2+1

+km•

-4km

2k2+1

+m2=

m2-2k2

2k2+1

因为

OP

•

OQ

=0，

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，
即3m2-2k2-2=0，所以m2=

2k2+2

3

点O到直线l的距离d=

|m|

k2+1

=

m2 k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

即点O到直线l的距离为定值

6

3

点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点，每年必考．一般都是联立直线与圆锥曲线方程消去一个未知数，得到一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，再结合题意来解．