题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
在
上的值域；
（2）若
，函数
在
上的最大值是
，求的取值范围；
（3）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）用换元法，设
，将
转化为一元二次函数，然后利用二次函数的性质得出结论。（2）将
整理成
，根据
的范围可得在定义域上的最大值
，再由
的范围，可得。（3）设，
在
上恒成立等价于
在
上恒成立，根据二次函数的性质解不等式，即得。
（1） 当
时，
，设，则有
，
，那么
，函数
的对称轴为
，故函数
在定义域上单调递增，值域为.（2） 由题意得，，
，
，则当
时，取到最大值，即
，又
，且
，
，
，故取值范围是.（3） 设，所以在上恒成立等价于在上恒成立，
这个二次函数开口朝上，
在区间上的最大值在端点处取到，即只需
即可，代入得
，解得
故实数
的取值范围是.
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