Question

一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．

Answer 1

分析：确定α=

m

7

•180°，β=

n

7

•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论．

解答：解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=

m

7

•180°，β=

n

7

•180°，m，n∈Z．
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限．
又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°，
因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°．
于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．
∴45°＜

m

7

•180°＜90°，45°＜

n

7

•180°＜90°，
即

7

4

＜m＜

7

2

，

7

4

＜n＜

7

2

．
又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3．
即α=（

360

7

）°，β=（

540

7

）°．

点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．