Question

选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点C的极坐标为
（4，

π

2

），若直线l经过点P，且倾斜角为

π

3

，圆C的半径为4．
（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；
（2）试判断直线l与圆C有位置关系．

Answer 1

分析：（1）由题意求得直线l的参数方程，C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，求得圆C方程，再将直线的参数方程代入，求得圆C极坐标方程．
（2）先求得直线l的普通方程，再求得圆心C到l的距离大于半径，可得直线l与圆C相离．

解答：解：（1）直线l的参数方程

x=1+tcos π 3 y=-5+tsin π 3

，即

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

 （t为参数）．
由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，
∴圆C方程为x²+（y-4）²=16，将

x=ρcosθ y=ρsinθ

  代入，求得圆C极坐标方程ρ=8sinθ．
（2）由题意得，直线l的普通方程为

3

x-y-5-

3

=0，
圆心CC到l的距离为d=

|-4-5- 3 |

2

=

9+ 3

2

＞4，
∴直线l与圆C相离．

点评：本题主要考查求直线的参数方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．