Question

(本题满分15分)

已知函数f (x)=x ²+ax ，且对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.

（1）求实数 a的值；

（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数. w.

Answer 1

解析：（1）由f (1+x)=f (1－x)得，

(1＋x)²＋a(1＋x)＝(1－x)²＋a(1－x)，                         

整理得：(a＋2)x＝0，                                             

由于对任意的x都成立，∴ a＝－2.                                 （7分）

（2）根据（1）可知 f ( x )=x ²－2x，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.

设，则＝－  

＝（）－2（）

＝（）（－2）                            

∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，              

∴ ＞0，即，                        

故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.                        （8分）