Question

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：欲求点M的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y之间的关系式即可．再设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y的关系式．

解答：解：设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵M是FQ的中点，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，又Q是OP的中点
∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在抛物线y²=4x上，∴（4y）²=4（4x-2），
所以M点的轨迹方程为y2=x-

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点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．