Question

【题目】如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.

（1）若，求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）取中点，通过线线垂直证明平面，从而得到

（2）取中点，中点，连接，则即为二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.

（3）利用等体积法，求出到平面的距离及的长度，从而表示出关于的函数，求出最大值.

（1）取中点，联结和，

∵，为中点，又为中点，，

，，

同理，平面，；

（2）取中点，中点，连接，

则，，即为二面角的平面角，

设，则，

，即二面角的余弦值为

（3）设，到平面的距离为，

则，

由等体积法，，即，

可得，

而，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立，

即的最大值为.