Question

已知a＞1，函数f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[2，+∞）时的值恒为正．
（1）a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=log₂（tx²+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲使x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）时恒成立，转化成a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）时恒成立，根据
函数x+

1

x

在[2，+∞）上的单调性求出最小值即可，使a小于最小值即可，注意条件a＞1；
（2）先求出集合A，表示出集合B，根据A∩B≠∅，得不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有属于A的解，根据二次函数的性质求出

2

x2

-

2

x

的值域，即可求出t的范围．

解答：解：（1）x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）时恒成立．即a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）时恒成立．
又函数x+

1

x

在[2，+∞）上是增函数，
所以(x+

1

x

)min=

5

2

，
从而1＜a＜

5

2

．（6分）
（2）A=(1，

5

2

)，B={x|tx²+2x-2＞0}．
由于A∩B≠∅，
所以不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，
即t＞

2

x2

-

2

x

有属于A的解．（8分）
又1＜x＜

5

2

时，

2

5

＜

1

x

＜1，
所以

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

∈[-

1

2

，0)．
故t＞-

1

2

．（12分）

点评：本题主要考查了二次函数恒成立问题，以及函数的单调性等有关基础知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．