Question

11．某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外路宽8米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 若设绿地长边为x米，则宽为$\frac{500}{x}$米，总面积S=（x+10）（$\frac{500}{x}$+16）=660+16x+$\frac{5000}{x}$，利用基本不等式可求得总面积的最小值及对应的绿地的长与宽．

解答 解：设绿地长边为x米，则宽为$\frac{500}{x}$米，
总面积S=（x+10）（$\frac{500}{x}$+16）=660+16x+$\frac{5000}{x}$≥660+2$\sqrt{16x•\frac{5000}{x}}$=660+200$\sqrt{2}$
当且仅当16x=$\frac{5000}{x}$，即x=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$时，上式取等号；
所以，绿地的长为$\frac{25\sqrt{2}}{2}$米，宽为20$\sqrt{2}$米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为（660+200$\sqrt{2}$）平方米．

点评 本题利用矩形的面积公式，考查了基本不等式的应用，是中档题．