题目内容

试研究

(1)若长方体的容积已定,何时其表面积最小?

(2)若长方体的表面积已定,何时其体积最大?
答案：
解析：

 解析:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,表面积为S,体积为V,则S=2(ab+bc+ca),V=abc.

∵ab+bc+ca≥,即S≥6(当且仅当ab=bc=ca,即a=b=c时,取“=”),所以

(1)由V为定值知,当a=b=c,即长方体为正方体时,S最小,最小值为6;

(2)由S为定值,与V≤(当且仅当a=b=c时,取“=”)知当长方体为正方体时,V最大,最大值为.


练习册系列答案
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椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x0，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A1、A2处时，|PM|取得最大值与最小值，求x0的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA2⊥BA2．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
（2012•杨浦区一模）已知△ABC的三个顶点在抛物线Γ：x2=y上运动．
（1）求Γ的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=
π
2
，点M在BC上，且
AM
•
BC
= 0，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
2
的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知的三个顶点在抛物线:上运动，

（1）. 求的焦点坐标；

（2）. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且  ，

求点的轨迹方程；

（3）. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.

 

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A1A2的中点〕

(1)(理)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A1A2|＞|B1B2|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1、B2或A1处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

已知△ABC的三个顶点在抛物线：x2=y上运动．
（1）求的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=，点M在BC上，且，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．

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