Question

19．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-n（n∈N^*），可得当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；由递推式化为a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1）利用等比数列的定义即可证明；
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ-1．可得b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）证明：∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-（2a_n-n），化为a_n+1=2a_n+1，
变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2；
（II）解：由（I）可得：a_n=2ⁿ-1．
b_n=$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．