Question

已知函数f （x）=e^g（x），g （x）=

kx-1

x+1

（e是自然对数的底），
（1）若函数g （x）是（1，+∞）上的增函数，求k的取值范围．
（2）若对任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数g′（x），然后将g（x）是（1，+∞）上的增函数转化成g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即可求出k的取值范围；
（2）先由条件得到f（1）＜2?e

k-2

2

＜2?k＜2ln2+1＜3猜测最大整数k=2，然后证明e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，转化成ln（x+1）+

3

x+1

＞2，设h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，然后利用导数求出h（x）在x＞0上的最小值，即可证得整数k的最大值为2．

解答：解：（1）设g （x）=

kx-1

x+1

?g′（x）=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

，
因为g（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范围为（-1，+∞）
（2）由条件得到f（1）＜2?e

k-2

2

＜2?k＜2ln2+1＜3猜测最大整数k=2，
现在证明e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，e

2x-1

x+1

＜x+1等价于，
2-

3

x+1

＜（lnx+1）?ln（x+1）+

3

x+1

＞2，
设h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

?h′（x）=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

故x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以对任意的x＞0都有h（x）≥h（2）=ln3+1＞2，
即e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2．

点评：本题主要考查了根据单调性求参数k的问题，以及不等式恒成立等基础知识，考查灵活运用转化和划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．