Question

已知函数f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

（x≥0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若对任意非负实数a，b，c，以f（a），f（b），f（c）为三边都可构成三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0恒成立等价于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立．x=0时，结论成立；x＞0时，分离参数-k＜x+

1

x

，利用基本不等式，即可确定实数k的取值范围；
（2）f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

(x＞0)，由（1）知：k＞-2，再进行分类讨论，利用以f（a），f（b），f（c）为三边都可构成三角形，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵x²+x+1＞0恒成立，∴f（x）＞0恒成立等价于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0时，结论成立；x＞0时，-k＜x+

1

x

，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
（2）f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

(x＞0)
由（1）知：k＞-2
1°、当k=1时，满足题意；
2°、当k＞1时，f(x)∈(1，1+

k-1

3

]，由题意知：1+1＞1+

k-1

2

，∴1＜k＜4
3°、当k＜1时，f(x)∈[

2+k

3

，1)，于是有2×

2+k

3

＞1，∴1＞k＞-

1

2

综上，实数k的取值范围为-

1

2

＜k＜4．

点评：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，属于中档题．