Question

已知函数的图像在[a,b]上连续不断，定义：

，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”

（1）若，试写出，的表达式；

（2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，

如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；

（3）已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

Answer 1

 解：（1）由题意可得：，。

    （2），，

    当时，

    当时，

    当时，

综上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3），令得或。

函数的变化情况如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。

（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，

①对恒成立；

②存在，使得成立。

①即：对恒成立，由解得或。

要使对恒成立，需且只需。

②即：存在，使得成立。

由解得或。

所以，只需。

综合①②可得。

（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。

（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。

综合（i）（i i）（i i i）可得：。