Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于， 两点.

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求出 点的坐标，利用两点间的距离公式求解即可；（Ⅱ）设过点且与直线平行的直线方程.则与相切时， 的最大面积，求出 点坐标，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为.

将直线代入中消去得， .

解得或.

所以点， ，

所以 .

（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.

设过点且与直线平行的直线方程.

将代入整理得， .

令 ，解得.

将代入方程，解得.

易知当点的坐标为时， 的面积最大.

且点到直线的距离为 .

的最大面积为.