Question

已知函数f（x）=x²-bx+c满足f（1+x）=f（1-x），且f（0）=3．
（1）求f（x）．
（2）设g(x)=2-x2+x+5，集合A={x|2^f（x）＞g（x）}，求集合A．

Answer 1

分析：（1）由f（1+x）=f（1-x），可得函数f（x）=x²-bx+c的对称轴为直线x=1，即-

-b

2

=1，由此求得b的值．再由f（0）=3，求得c的值，可得函数f（x）的解析式．（2）由题意，就是求不等式2x2-2x+3＞2-x2+x+5的解集．根据函数y=2^x是R上的增函数，可得x²-2x+3＞-x²+x+5，解此一元二次不等式求得A．

解答：解：（1）∵f（1+x）=f（1-x），∴函数f（x）=x²-bx+c的对称轴为直线x=1，即-

-b

2

=1，∴b=2．
又f（0）=3，∴c=3，∴f（x）=x²-2x+3．…（6分）
（2）由题意，就是求不等式2x2-2x+3＞2-x2+x+5的解集．
∵函数y=2^x是R上的增函数，∴不等式2x2-2x+3＞2-x2+x+5 等价于：x²-2x+3＞-x²+x+5，即2x²-3x-2＞0，
解得：x＜-

1

2

或x＞2，∴A={x|x＜-

1

2

，或x＞2}．…（12分）

点评：本题主要考查函数图象的对称性的应用，指数不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．