Question

【题目】已知x∈（1，+∞），函数f（x）=ex+2ax（a∈R），函数g（x）=| ﹣lnx|+lnx，其中e为自然对数的底数．
（1）若a=﹣ ，求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣ ，f（x）=ex﹣e2x，x∈（1，+∞），

f′（x）=ex﹣e2，

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增

（2）证明： x∈（1，+∞），f′（x﹣1）=ex﹣1+2a，

g（x）=| ﹣lnx|+lnx= ，

①1＜x＜e时，证明当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a，

即证明：ex﹣1+2a＞ +a，a＞2，

即a＞ ﹣ex﹣1，

只需证明h（x）= ﹣ex﹣1≤2在（1，e）恒成立即可，

h′（x）=﹣ ﹣ex﹣1＜0，h（x）在（1，e）递减，

h（x）最大值=h（1）=e﹣1＜2，

∴a＞ ﹣ex﹣1，

∴1＜x＜e时，当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a；

②x≥e时，证明当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a，

即证明：ex﹣1+2a＞2lnx﹣ +a，a＞2，

令m（x）=ex﹣1﹣2lnx+ +a，（a＞0，x≥e），

m′（x）=﹣ ﹣ +ex﹣1，显然m′（x）在[e，+∞）递增，

而m′（e）= ≈0，m′（3）≈6，

近似看成m（x）在[e，+∞）递增，

∴m（x）＞m（x0）≈m（e）=ee﹣1+a﹣1＞ee﹣1+1＞0，

综上，当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a

【解析】（1）把a=﹣ 代入函数解析式，求出函数的导函数由导函数的符号求得函数的单调区间；（2）求出f′（x﹣1）的表达式以及g（x）的分段函数，通过讨论1＜x＜e和 x≥e的范围分别证明得答案．