Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n．
（1）如果数列{a_n}为等差数列，且对一切正整数n，满足$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，求数列{a_n}的通项公式；
（2）如果数列{a_n}对一切正整数n，满足$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义，令n=1，求出a₂=2即可．
（2）利用累积法先求出S_n的表达式，即可．
（3）利用构造法构造一个等比数列，进行求解即可．

解答 解：（1）如果数列{a_n}为等差数列，且对一切正整数n，满足$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，
则当n=1时，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}=\frac{1+{a}_{2}}{1}=\frac{6}{2}=3$，即a₂=2，
公差d=a₂-a₁=2-1=1，则数列{a_n}的通项公式a_n=1+n-1=n；
（2）如果数列{a_n}对一切正整数n，满足$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
则$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$=$\frac{5}{3}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
等式两边同时相乘得$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×…×$\frac{n+1}{n-1}$，
即$\frac{{S}_{n}}{{S}_{1}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，即S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
则当n≥2是，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
当n=1时，a₁=1也满足a_n=n，
故数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（3）若数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+1，
则a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
即数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比q=3的等比数列，首项为a₁+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则数列{a_n}的通项公式a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1=$\frac{1}{2}$•3ⁿ，∴a_n=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•3ⁿ．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件，利用等差数列，等比数列的性质以及累积法，构造法是解决本题的关键．综合性较强．