Question

数列{a_n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且a₆＞0，a₇＜0．
求：
（1）数列{a_n}的公差；
（2）前n项和S_n的最大值；
（3）当S_n＞0时，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）题目给出了首项，设出公差，由a₆＞0，a₇＜0联立可求公差d的值；
（2）写出等差数列的前n项和，由二次函数的性质可求前n项和的最大值；
（3）把（2）中求出的前n项和代入S_n＞0，直接求解关于n的二次不等式即可得到n的最大值．

解答：解：（1）设公差为d，由

a6=a1+5d=23+5d＞0 a7=a1+6d=23+6d＜0

，得：

d＞- 23 5 d＜- 23 6

，又d为整数，所以d=-4；
（2）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=23n+

n(n-1)×(-4)

2

=-2n²+25n，
此函数的对称轴为n=

25

4

，因为n∈N^*，所以当n=6时，函数有最大值为-2×6²+25×6=78，
所以前n项和S_n的最大值为78；
（3）由（2）知Sn=-2n2+25n，
由-2n²+25n＞0，得：n＜

25

2

，所以n的最大值为12．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，考查了不等式的解法及运算能力，此题是中档题