Question

已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）设sinx+cosx=t(-

2

≤t≤

2

)，则sin2x=t²-1，本题即求g（t）=t²+3t-1的值域，利用二次函数的性质求出g（t）的值域．
（2）求出f'（x）的解析式，则使f'（x）＞0的区间即为函数的增区间，使f'（x）＜0的区间即为函数的减区间．

解答：解：（1）由题意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），
设sinx+cosx=t(-

2

≤t≤

2

)，则sin2x=t²-1，
于是只要求g（t）=t²+3t-1的值域．
又∵g(t)=(t+

3

2

)2-

13

4

，故与t=±

2

时，g（t）取得最值．
即f（x）的值域为[1-3

2

，1+3

2

]…（6分）
（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的单调递减区间为[

π

4

，

5π

4

]，f（x）的单调递增区间为[0，

π

4

]，[

5π

4

，2π]…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，简单符合函数的导数的求法，利用导数求函数的单调区间，属于基础题．