Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

已知函数f(x)＝mx³－3(m＋1)x²＋3(m＋2)x＋1，其中m∈R．

(Ⅰ)若m＜0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；

(Ⅲ)设g(x)＝mx³－(3m＋2)x²＋3mx＋4lnx＋m＋1，问是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∴＝　　2分 　　当时，有，当变化时，与的变化如下表： 　　4分 　　故有上表知，当时，在单调递减， 　　在单调递增，在上单调递减．　　5分 　　(Ⅱ)由已知得，即 　　又，所以()　　①　　6分 　　设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 　　∴　　8分 　　解之得 　　又　　所以的取值范围为　　9分 　　(Ⅲ)令，则 　　因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 　　 　　当时，是增函数； 　　当时，是减函数 　　当时，是增函数 　　∴有极大值有极小值　　12分 　　又因为当充分接近0时，；当充分大时， 　　所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须 　　 　　即， 　　∴或 　　∴当或时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点． 　　14分