Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=

1

4

．
（Ⅰ）求BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明MN⊥BC₁；
（Ⅲ）求二面角C-C₁B-M的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取M为AC的中点，可证得∠BC₁M为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角．
（II）证明MN垂直面BMC1，用线面垂直依据线面垂直的定义证线线垂直．
（III）过C作CP⊥C₁M于P，作CQ⊥C₁B于Q，连接PQ，证明角CQP为二面角的平面角，由题设条件知，欲证CP垂直于C₁B，可通过证CP垂直于C₁BM来求证，

解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥BM，又M是正△ABC边AC的中点，
∴BM⊥AC，
∵CC₁∩AC=C
∴BM⊥平面ACC₁A₁
∴∠BC₁M为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角
又BM=

3

，BC1=2

5

∴sin∠BC₁M=

15

10

（5分）
（Ⅱ）证明：依题意得MN=

17

4

，C1M=

17

，C1N=

17

4

因为MN²+C₁M²=C₁N²
∴MN⊥C₁M由（Ⅰ）知BM⊥MN，而C₁M∩BM=M，
所以MN⊥平面BC₁M
所以MN⊥BC₁（9分）
（Ⅲ）过C作CP⊥C₁M于P，作CQ⊥C₁B于Q，连接PQ
∵BM⊥平面ACC₁A₁
∴平面BMC₁⊥平面ACC₁A₁
∴CP⊥平面BMC₁，（11分）
又∵CQ⊥C₁B
∴PQ⊥C₁B
∴∠PQC是所求二面角C-C₁B-M的平面角
∵CP=

1×4

17

=

4 17

17

，CQ=

2×4

2 5

=

4 5

5

∴sin∠PQC=

85

17

∴二面角C-C₁B-M的大小为arcsin

85

17

（14分）

点评：考查线面角的求法，利用线面垂直证线线垂直，求二角角，本题考查 的是立几中的重点知识，基本技能．