Question

【题目】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如表1.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡为优等品，寿命小于300天的灯泡为次品，其余的灯泡为正品.

表1

寿命（天）	频数	频率
	20	0.10
	30	a
	70	0.35
	b	0.15
	50	0.25
合计	200	1

（1）根据表1中的数据，写出a、b的值；

（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，若这n个灯泡的等级情形恰与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；

（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)4 （3）分布列见解析，期望为

【解析】

（1）由题意可得：，由可得.

（2）由表1知灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个.

于是，优等品、正品和次品的比例为：50:100:50=1:2:1.

所以，按分层抽样法，购买灯泡数为：.

从而，的最小值为4.

（3） 的所有取值为0、1、2、3.

由题意，知购买一个灯泡，且此灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25.

从这批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，于是，

，

，

，

.

所以，随机变量的分布列如表2.

表2

	0	1	2	3

从而，的数学期望为：

.