Question

设x＞0，y＞0，z＞0．
（Ⅰ）利用作差法比较与的大小；
（Ⅱ）求证：x²+y²+z²≥xy+yz+zx；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，证明：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．
（Ⅱ）∵；
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
（Ⅲ）由（1）可得，类似的有 ，，
∴=，
故 成立．
分析：（1）作差、变形到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（Ⅱ） 作差、变形到完全平方的和的形式，判断符号，得出结论．
（Ⅲ）由（1）可得，同理可得 ，，相加后利用（Ⅱ） 的
结论即可证明不等式成立．
点评：本题考查用比较法、综合法证明不等式，由（1）得 ，是解题的关键．