Question

已知无穷数列{a_n}，首项a₁=3，其前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（a≠0，a≠1，n∈N^*）．若数列{a_n}的各项和为，则a=    ．

Answer 1

【答案】分析：由a_n+1=（a-1）•S_n+2，知a₂=3a-1，a₃=3a²-a，a₄=3a³-a²，由数学归纳法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，且|a|=1时S_n都不等于（-）a．那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×，由此能求出a的值．
解答：解：由a_n+1=（a-1）•S_n+2 可以知道：
a₂=3a-1，
a₃=3a²-a，
a₄=3a³-a²，
由数学归纳法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，
又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，
且|a|=1时S_n都不等于（-）a
那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×，
当n趋向无穷大时：若|a|＞1，那么S_n也趋向无穷，不满足题意，
若|a|＜1，那么S_n=-，
那么有：，
解得：a=-．
故答案为：-．
点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．