Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2
（1）当a=-2时，写出函数f（x）的单调区间．
（2）求实数a的取值范围，是函数f（x）在区间[-5，5]上是单调增函数．
（3）若x∈[-5，5]，求函数f（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，求出函数的对称轴，可得函数的单调区间．
（2）求出函数的对称轴，利用函数在区间[-5，5]上是单调增函数，确定对称轴和区间之间的关系．
（3）讨论对称轴和区间[-5，5]的关系，求函数f（x）的最小值h（a）．

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，对称轴为x=2，
∴函数f（x）在（-∞，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
（2）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，对称轴为x=-a，抛物线开口向上，
要使函数f（x）在区间[-5，5]上是单调增函数，则区间[-5，5]在对称轴的右侧，
即满足-a≤-5，即a≥5．
（3）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，对称轴为x=-a，抛物线开口向上，
①若-a≤-5，即a≥5．此时f（x）在区间[-5，5]上单调递增，
∴最小值为f（-5）=27-10a，
即h（a）=f（-5）=27-10a．
②若-5＜-a＜5，此时最小值为f（-a）=2-a²，即h（a）=f（-a）=2-a²．
③若-a≥5，即a≤-5．此时f（x）在区间[-5，5]上单调递减，
∴最小值为f（5）=27+10a，
即h（a）=f（5）=27+10a．
综上：h（a）=

27-10a，  a≥5 2-a2，     -5＜a＜a 27+10a，  a≤-5

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数对称轴和单调性之间的关系是解决本题的关键．