Question

已知1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x2

y

≤3，求lg

x2

3 y

的范围．

Answer 1

分析：要求lg

x2

3 y

的范围，可先将lg

x2

3 y

用lg

x

y

和lg

x2

y

表示，再根据1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x2

y

≤3结合不等式的性质解决问题

解答：解：令lg

x2

3 y

=a•lg

x

y

+b•lg

x2

y

即2lgx-

1

3

lgy=a(lgx-lgy)+b(2lgx-

1

2

lgy)
即

2=a+2b 1 3 =a+ 1 2 b

解得

a=- 2 9 b= 10 9

∵-

4

9

≤-

2

9

lg

x

y

≤-

2

9

，

20

9

≤

10

9

lg

x2

y

≤

30

9

∴

16

9

≤lg

x2

3 y

≤

28

9

点评：由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得 g（x₁，y₁）的范围．此外，本例也可用线性规划的方法来求解．