题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+
ab=c2．
（1）求C；
（2）设cosAcosB=
，
=
，求tanα的值．
| 2 |
（1）求C；
（2）设cosAcosB=
3
| ||
| 5 |
| cos(α+A)cos(α+B) |
| cos2α |
| ||
| 5 |
（1）∵a2+b2+
ab=c2，即a2+b2-c2=-
ab，
∴由余弦定理得：cosC=
=
=-
，
又C为三角形的内角，
则C=
；
（2）由题意
=
=
，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=
，
即tan2αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=
，
∵C=
，A+B=
，cosAcosB=
，
∴sin（A+B）=
，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=
-sinAsinB=
，即sinAsinB=
，
∴
tan2α-
tanα+
=
，即tan2α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．
| 2 |
| 2 |
∴由余弦定理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
-
| ||
| 2ab |
| ||
| 2 |
又C为三角形的内角，
则C=
| 3π |
| 4 |
（2）由题意
| cos(α+A)cos(α+B) |
| cos2α |
| (cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB) |
| cos2α |
| ||
| 5 |
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=
| ||
| 5 |
即tan2αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=
| ||
| 5 |
∵C=
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 5 |
∴sin（A+B）=
| ||
| 2 |
3
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
| ||
| 10 |
∴
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
解得：tanα=1或tanα=4．
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