Question

【题目】四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4。

（I）证明：AB⊥面BCDE；

（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）推导出BE⊥BC，从而BE⊥平面ABC，进而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能证明AB⊥面BCDE．

（Ⅱ）以B为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值．

由侧面底面，且交线为，底面为矩形

所以平面，又平面，所以

由面面，同理可证，又面

在底面中，，

由面 ，故,

以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,

设平面的法向量，则，取

所以平面的法向量，同理可求得平面的法向量.

设二面角的平面角为，则

故所求二面角的正弦值为.