Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β）．
（1）求f（α）+f（β）的值；
（2）设曲线y=f（x）的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在y=f（x）上．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的导函数令其=0则α、β为3x²+2ax+b=0的两根，利用根与系数的关系化简f（α）+f（β）得到即可；
（2）设出A与B两点坐标，求出中点坐标线段判断AB的中点是否在y=f（x）上即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于f（x）有极大值和极小值，
∴α、β为3x²+2ax+b=0的两根，则
=（α³+β³）+a（α²+β²）+b（α+β）+2c
=[（α+β）³-3αβ（α+β）]+a[（α+β）²-2αβ]+b（α+β）+2c
=
=
（2）设A（α，f（α）），B（β，f（β），
由
=
知AB的中点在y=f（x）上．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．