Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若?x≥1，f（x）＜g（x），求实数a的取值范围；
（2）证明：“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要条件是“a=1”．

Answer 1

分析：（1）记F（x）=f（x）-g（x），求导函数，分类讨论，确定函数F（x）的最小值，令最小值小于0，即可求得实数a的取值范围；
（2）证明分充分性与必要性进行证明，搞清楚条件与结论．

解答：（1）解：记F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，x≥1，
当a≤0时，F'（x）＞0恒成立，故F'（x）为[1，+∞）上的单调增函数，所以F_min（x）=F（1）=1，（2分）
当a＞0时，由F'（x）=0得x=

a 2

（负值舍去），
若

a 2

≤1，即0＜a≤2时，F'（x）≥0恒成立，故F（x）为[1，+∞）上的单调增函数，所以F_min（x）=F（1）=1，（4分）
若

a 2

＞1，即a＞2时，F'（x）在[1，

a 2

)上恒小于0，在(

a 2

，+∞)上恒大于0，
所以F（x）在[1，

a 2

)上的单调递减，在[

a 2

，+∞)上的单调递增，
故Fmin(x)=F(

a 2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)，
综上所述，Fmin(x)=

1，a≤2 a 2 (1-ln a 2 )，a＞2

（6分）
所以

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，且a＞2，解得a＞2e．（8分）
（2）证明：1°充分性：当a=1时，方程x²-lnx=x，即x²-lnx-x=0，记G（x）=x²-lnx-x，x＞0
由G′(x)=2x-

1

x

-1=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

=0得x=1（负值舍去），
所以G（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
故G_min（x）=g（1）=0，即G（x）=x²-lnx-x在（0，+∞）有唯一解x=1，得证．（11分）
2°必要性：因为方程x²-alnx=ax（a＞0）有唯一解，记h（x）=x²-alnx-ax，x＞0
由h′(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

=0得x0=

a+ a2+8a

4

（负值已舍），
所以h（x）在（0，x₀）上单调递减，在[x₀，+∞）上单调递增，
故h_min（x）=h（x₀）=0，且h'（x₀）=0（13分）
即

x02-alnx0-ax0=0    ① 2x02-ax0-a=0          ②

②-①×2得2lnx₀+x₀-1=0，x₀＞0，记s（x₀）=2lnx₀+x₀-1，x₀＞0，
则函数s（x₀）为（0，+∞）上的单调增函数，且s（1）=0，所以方程2lnx₀+x₀-1=0有唯一解x₀=1，
将x₀=1代入②式得a=1，即证．
由1°、2°得，“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要条件是“a=1”．（16分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的图象与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力．