Question

9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{2{S}_{n}+7}{n}$，则b_n取最小值时n的取值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*），利用等差数列的前n项和公式可得：S_n，于是b_n=n+$\frac{7}{n}$+1，利用导数考察函数f（x）=$x+\frac{7}{x}$的单调性，（x≥1），即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*），
∴数列{a_n}为等差数列，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，
∴b_n=$\frac{2{S}_{n}+7}{n}$=$\frac{n（n+1）+7}{n}$=n+$\frac{7}{n}$+1，
考察函数f（x）=$x+\frac{7}{x}$的单调性，（x≥1）
f′（x）=1-$\frac{7}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-7}{{x}^{2}}$，
可知：当x∈[1，$\sqrt{7}$）时，函数f（x）单调递减；当x∈（$\sqrt{7}$，+∞）时，函数f（x）单调递增．
而f（2）=$2+\frac{7}{2}$+1=$\frac{13}{2}$，f（3）=3+$\frac{7}{3}$+1=$\frac{19}{3}$，f（2）＞f（3）．
∴b_n取最小值时n的取值为3．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．