题目内容
三棱锥A-BCD中，对棱AD、BC所成的角为30°且AD=BC=a．截面EFGH是平行四边形，交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H，设
=t
（1）求证：BC∥平面EFGH；
（2）求证：平行四边形EFGH的周长为定值；
（3）设截面EFGH的面积为S，写出S与t的函数解析式，并求S的最大值．
| BE |
| AB |
（1）求证：BC∥平面EFGH；
（2）求证：平行四边形EFGH的周长为定值；
（3）设截面EFGH的面积为S，写出S与t的函数解析式，并求S的最大值．
（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形∴EF∥GH
又∵EF?平面BCD，GH?平面BCD∴EF∥平面BCD
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC
∴EF∥BC
又∵BC?平面EFGH，EF?平面EFGH∴BC∥平面EFGH
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可证得：AD∥EH
∵EH∥AD∴
=
=t∴EH=at
又∵Ha∥BC∴
=
=
=1-t
∴HG=a（1-t）∴周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）∵EH∥ADHG∥BC
∴∠EHG是AD与BC所成的角（设∠EHG为锐角）∴∠EHG=30°
∴S=EH×HG×sin30°=
×at×a(1-t)=
a2t(1-t)
∴当t=
时，S最大=
．
又∵EF?平面BCD，GH?平面BCD∴EF∥平面BCD
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC
∴EF∥BC
又∵BC?平面EFGH，EF?平面EFGH∴BC∥平面EFGH
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可证得：AD∥EH
∵EH∥AD∴
| EH |
| AD |
| BE |
| AB |
又∵Ha∥BC∴
| Ha |
| BC |
| DH |
| BD |
| AE |
| AB |
∴HG=a（1-t）∴周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）∵EH∥ADHG∥BC
∴∠EHG是AD与BC所成的角（设∠EHG为锐角）∴∠EHG=30°
∴S=EH×HG×sin30°=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴当t=
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| 8 |
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