Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|

OA

|＞|

OB

|．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．（5分）
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．（8分）
（Ⅲ）因为A（x₁，y₁）在椭圆上，所以满足y²=4（1-x²），y₁²=4（1-x₁²），

|OA|

2-

|OB|

2=

x

21

+

y

21

-(

x

22

+

y

22

)=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=

6k(x1-x2)

k2+4

．
因为A在第一象限，故x₁＞0．由x1x2=-

3

k2+4

知x₂＜0，从而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，
即在题设条件下，恒有

|OA|

＞

|OB|

．（12分）