Question

数列{a_n}中，前n项和为S_n且S_n=n-5a_n-85，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：先利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求出a₁和a_n，再利用构造法得到数列{a_n-1}是以a₁-1=-15为首项，以

5

6

公比的等比数列，由此能求出结果．

解答：解：∵S_n=n-5a_n-85，
∴S_n-1=n-1-5a_n-1-85，a₁=1-5a₁-85，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1，
∴6a_n=5a_n-1+1，
∴6a_n-6-6=5a_n-1-5，
∴

an-1

an-1-1

=

5

6

，
∵S_n=n-5a_n-85，
∴a₁=1-5a₁-85，
解得a₁=-14，
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=-15为首项，以

5

6

公比的等比数列，
∴a_n-1=-15×(

5

6

)n-1，
∴a_n=1-15×(

5

6

)n-1．
故答案为：1-15×(

5

6

)n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

和构造法的合理运用．