Question

（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；
（Ⅲ）试证明：.

Answer 1

(1) 在区间上是减函数
(2)
(3)在二问的基础上，进行放缩法来证明不等式。

解析试题分析：解：（Ⅰ）由题…………2分
故在区间上是减函数;…………3分
（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，…………………5分
再取则
故在上单调递增，
而，…………………7分
故在上存在唯一实数根，
故时，时，
故故…………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，………………10分
又

……………………12分

即：………………14分
考点：本试题主要是考查了导数在函数中的应用。
点评：利用导数的正负来判定函数的单调性，并求解函数的最值的应用个。对于含有参数的不等式恒成立问题，一般采用分离变量的思想，借助于函数的最值来得参数的范围。对于函数与不等式的结合问题，一般运用放缩法的思想来求证，属于难度试题。