Question

【题目】已知函数，，．

（Ⅰ)若的图像在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；

（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】【试题分析】(I)求出函数在处的切线方程,代入点求得的值.求出的表达式,对求导后对分类讨论,由此求得函数的单调区间.(II)由出发,设出其切点的横坐标,求得切线方程,同理求得的切线方程,联立这两条切线方程可求得的表达式,构造函数,利用导数证得有解,从而证得存在共切线.

【试题解析】

（Ⅰ）由，得．又，

故在的切线方程为．带入，得

．从而，，．

①当时，，．故的单调增区间为；

②当，即时，，．故的单调增区间为；

③当，即时，由得，故的单调增区间为．

综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为．

（Ⅱ）设的切点横坐标为，，

切线方程为……①

设的切点横坐标为，，

切线方程为……②

联立①②，得，消去得．

考虑函数，．

令，得或．

当或时，，函数在区间，上单调递减，当且时，，函数在区间，上单调递增．

，．故当时，方程有解，

从而，函数与存在公切线．