Question

在△ABC中，(1)若＝a，＝b，求证△ABC的面积S_△＝；

(2)若＝(a₁，a₂)，＝(b₁，b₂)，求证：△ABC的面积S_△＝|a₁b₂－a₂b₁|．

Answer 1

答案：
解析：

解析　　利用S＝|a||b|sinθ，再用夹角公式可证出． 　　证明　　(1)设a，b的夹角为θ，△ABC的面积S△＝||·||·sinθ＝|a|·|b|·sinθ． 　　∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－()2， 　　∴S△2＝(|a|·|b|)2sin2θ 　　＝(|a|·|b|)2×[1－()2] 　　＝[(|a|·|b|)2－(a·b)2]， 　　∴S△＝ 　　(2)记＝a，＝b，则a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 　　∴|a|2＝a12＋a22， 　　|b|2＝b12＋b22，|a·b|＝， 　　由(1)知S△＝ 　　＝ 　　＝ 　　∴S△＝|a1b2－a2b1|． 　　评析　　(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式．