Question

20．已知$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，若|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{10}$，则$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 如图，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₂，可得$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁-θ₂ ，计算cos（θ₁-θ₂）=$\frac{{2\overrightarrow{b}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}}}$，再根据4${\overrightarrow{b}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=10，可得cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-{2\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow{b}}^{2}}}$．设y=$\frac{10-{2\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow{b}}^{2}}}$，将该式变成：4${\overrightarrow{b}}^{4}$+（30y²-40）${\overrightarrow{b}}^{2}$+100-100y=0，根据△≥0求得y的范围，可得y的最小值，从而得出结论．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₂，∴$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁-θ₂，
∴cos（θ₁-θ₂）=cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$•$\frac{2|\overrightarrow{b}|}{\sqrt{10}}$+$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$•$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sqrt{10}}$=$\frac{{2\overrightarrow{b}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}}}$．
∵4${\overrightarrow{b}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=10，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=10-4${\overrightarrow{b}}^{2}$，∴cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-{2\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow{b}}^{2}}}$．
设y=$\frac{10-{2\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow{b}}^{2}}}$；将该式变成：4${\overrightarrow{b}}^{4}$+（30y²-40）${\overrightarrow{b}}^{2}$+100-100y=0．
将该式看成关于${\overrightarrow{b}}^{2}$的一元二次方程，该方程有解，∴△=（30y²-40）²-16（100-100y）≥0；
解得y≥$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，或y≤-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去）；
∴则$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，三角函数的定义，以及两角差的余弦公式，一元二次方程有解时判别式△≥0，属于中档题．