Question

18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

（1）求圆C的方程.

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m＜0，n＞0）,则该圆的方程为(x-m)²+(y-n)²=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2

即=4       ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)²+y²=8

(2)=5，∴a²=25，则椭圆的方程为+=1

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)²+y²=8与(1)所求的圆的交点数。

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。