Question

在平面直角坐标系中，有一点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对于每一个正整数n，点P_n在函数y=log₃（2x）的图象上，又等差数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，公差d=1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=3^bn+2ⁿ（n∈N₊），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求a_n，再由P_n在函数y=log₃（2x）的图象上，可得b_n=log₃（2a_n）；
（Ⅱ）表示出c_n，利用分组求和可得S_n．

解答：解：（Ⅰ）由{a_n}的首项a₁=

1

2

，公差d=1，得an=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∵点P_n在函数y=log₃（2x）的图象上，
∴b_n=log₃（2a_n）=log₃（2n-1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c_n=3^bn+2ⁿ=3log3(2n-1)+2n=2n-1+2ⁿ，
∴S_n=（1+2）+（3+2²）+…+[（2n-1）+2ⁿ]
=[1+3+…+（2n-1）]+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n•2n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查等差数列的通项公式、数列求和，考查学生的运算求解能力，属中档题．