Question

三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，求证：顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心．

Answer 1

分析：三棱锥P-ABC，在面PAB中任取一点M，过M作MD⊥PA，ME⊥PB，可证得PC⊥平面PAB，同理可证，PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC；再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证得顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心．

解答：证明：三棱锥P-ABC，在面PAB中任取一点M，过M作MD⊥PA，ME⊥PB，
∵三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，
∴MD⊥平面PAC，ME⊥平面PBC，
∴MD⊥PC，ME⊥PC，MD∩ME=M，
∴PC⊥平面PAB，同理可证，PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC；
∵顶点P在底面的射影为O，
连接CO并延长交AB于C′，连接AO并延长交BC于A′，
∵PC⊥平面PAB，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，又PO⊥底面ABC，
∴PO⊥AB，又PC∩PO=P，
∴AB⊥平面PCC′，
∴AB⊥CC′；
同理可证，BC⊥AA′，
∴O是底面三角形的垂心．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，突出考查线面垂直的判定与线面垂直的性质的综合应用，考查作图、推理与证明的能力，属于中档题．