Question

（2010•江西模拟）三棱锥P-ABC的高|PO|=2

2

，底面边长分别为3，4，5，Q点在底边上，且斜高PQ的数值为3，这样的Q点最多有（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

分析：先证明底面三角形为直角三角形，且内切圆半径为1，再证明点P与三个切点的连线即为侧面斜高，由已知数据计算三个斜高均为3，即符合条件的点Q恰为这三个切点

解答：解：如图∵|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°
设此三角形的内切圆半径为r，
则由△ACB的面积等于△OAB，△OAC，△OBC的面积之和得

1

2

×3×4=

1

2

(3+4+5)×r
∴r=1
设切点为D、E、F
则由三垂线定理知：PD、PE、PF分别为三棱锥三个侧面的斜高
∵在直角三角形POD中，|PO|=2

2

，|OD|=1
∴|PD|=

12+2 2 2

=3
同理|PE|=3，|PF|=3
∴Q点在底边上，且斜高PQ的数值为3，这样的Q点最多有3个，分别位于D、E、F的位置
故选B

点评：本题考查了三棱锥的结构特征，直角三角形的特殊性质，椎体的高与斜高的关系和计算方法，将空间问题转化为平面问题的思想方法